Armonica e Scienza 2

In Fisica Quantistica è tutta
questione di numeri […], quelle
cose non si comportano come
particelle, non sono come fasci
di materia o di energia…
si comportano come numeri.

John Von Neumann

Questo è il secondo dei due articoli dedicati all’Armonica. Il primo, “Armonica e Scienza 1”, uscito a gennaio introduceva i nuovi concetti che la scienza[1] attribuisce ai fenomeni vibratori come archetipici e fondanti della manifestazione dell’Universo percepito.In questo articolo andremo più in profondità arrivando all’essenza stessa di Numero, mostrando come i concetti di Spazio e di Armonica sono accomunati dalla stessa essenza (ad un più alto livello di astrazione) che dà vita all’entità Numero. Mentre quando si parla di concetti fisici possiamo quasi sempre aggrapparci alla nostra intuizione del mondo circostante per avere un’immagine di ciò di cui si sta parlando, qui non possiamo più farlo. Entreremo in un mondo di pura astrazione e di bellezza, di eleganza e di assoluto ordine gerarchico. Passeggeremo là dove Platone pone il “mondo delle idee”, quelle che non hanno forma, ma dalle quali la forma trae origine. Essendo gli argomenti trattati difficili si è cercato di rendere il più fruibile possibile l’esposizione, ma si sta parlando comunque di matematica di frontiera e di ricerca pura; quindi, in questo articolo l’asticella della complessità si alza un po’, ma se si affrontano temi come l’Armonica in un contesto di esattezza scientifica non può che essere così. Si mostrerà come a partire da teoremi e congetture matematiche complesse si possa arrivare a formulazioni coerenti considerando l’aspetto relazionale dell’entità Numero per poi giungere attraverso ponti di astrazione ulteriore ad unificare tra loro il concetto di Armonica e la Teoria dei Numeri. Lasciamoci quindi avvolgere dalla bellezza e iniziamo, visto che la strada da percorrere è lunga.

Settembre è freddo nella prussiana Königsberg, soprattutto quella sera del 1930. È il 6 del mese ed è un sabato. Il sesto congresso dei fisici e matematici tedeschi è alle battute finali. Tutti gli interventi più importanti hanno già avuto luogo e si sta svolgendo, in una saletta piccola e anonima del Gran Teatro di Königsberg, una sessione collaterale, l’ultima in programma per questo congresso. Gran parte dei presenti se ne sono andati, vista l’ora tarda della sera e visto il gran freddo fuori, e le poche persone rimaste sono già con il pensiero alla cena prossima o a come trovare un trasporto comodo che li porti a casa.In questo contesto sale sul palco un giovanissimo logico-matematico sconosciuto che ha appena consegnato la sua tesi di dottorato e, con un tono di voce al limite dell’udibile e balbettando, inizia a parlare.

Da quel momento tutto è cambiato!

L’intero castello delle rassicuranti certezze matematiche si è sbriciolato a partire dalle sue fondamenta. Il giovane sconosciuto e balbettante logico si chiamava Kurt Gödel e ciò che ha presentato quella sera è la dimostrazione dei due teoremi che vanno sotto al nome di “Teoremi di Incompletezza Sintattica”. Nome che intimorisce, ma per capirci basta dire che da quella sera di settembre a Königsberg, i termini “Vero” e “Dimostrabile” in Matematica non sono più sinonimi. Le implicazioni tecniche e filosofiche furono enormi (anche se non immediate). Fecero crollare il programma formalista di Hilbert e sgretolarono alla sua base quell’enorme opera utopica assiomatica di Whitehead e Russell che sono i “Principia Mathematica”. E già! … come fa Gödel ad affermare con i suoi teoremi che in Matematica un’affermazione (espressione Aritmetica) che è sicuramente vera, non può essere dimostrata con i soli mezzi dell’Aritmetica? Questa bomba scoppiata quella sera di settembre passò inosservata agli ultimi presenti in sala, tranne ad uno di loro. Un genio, un matematico al quale la dimostrazione presentata da Gödel fece saltare un battito al cuore. Questo matematico era John Von Neumann. A quell’epoca nelle accademie si raccontava l’aneddoto che diceva “che i bravi matematici dimostrano quello che possono, Von Neumann dimostra quello che vuole”. Quella sera del 1930, la dimostrazione dei due Teoremi di Incompletezza Sintattica lasciò Von Neumann letteralmente senza fiato e si narra che nelle settimane a seguire rimase sempre chiuso nel suo studio, senza proferire una parola e quasi senza toccare cibo. Dare qui una spiegazione tecnica di come funziona la dimostrazione messa in piedi da Gödel è troppo complicato. L’unica cosa che dobbiamo sapere è che Gödel trasformò le relazioni tra costrutti logici in relazioni tra costrutti numerici in modo da manipolare numeri al posto di simboli. Ad ogni simbolo sintattico fece corrispondere un numero primo. Le formule logiche (che sintatticamente sono sequenze di simboli) diventarono sequenze di numeri primi e le dimostrazioni logiche, che sintatticamente sono sequenze di sequenze di simboli, diventarono sequenze di sequenze di numeri primi. Questo metodo inventato da Gödel si chiama “aritmetizzazione” o “gödelizzazione”. Invece di dimostrare teoremi (sequenze di sequenze sintattiche di simboli), si lavora (con l’aritmetica) con le relazioni tra sequenze di sequenze di numeri primi. Qui il Numero è preso come “Entità” base, elemento relazionale che, sintatticamente può essere adoperato per inferire relazioni nascoste alla vista di un primo sguardo. Gödel dimostrò che la Verità è un concetto semantico, mentre la Dimostrabilità è un concetto puramente sintattico e questi due concetti non necessariamente sono sempre legati. Come detto prima, costruì aritmeticamente (attraverso il metodo della gödelizzazione) una sequenza numerica “vera”, ma non dimostrabile con metodi aritmetici.

Facciamo ora un balzo in avanti di un bel po’ di anni. Siamo a Princeton e l’atmosfera è euforica, come ad ogni fine di semestre. Si festeggia, e anche quella sera il professore coreano Kim Minh-Yong si stava preparando ad uscire. Da qualche giorno non faceva neanche più caso al suo compagno di stanza che febbrilmente stava lavorando su concetti molto avanzati di matematica astratta. Idee che stava sviluppando basandosi sul lavoro di quello che lui considerava il suo maestro: Alexander Grothendieck. Minh-Yong salutò il suo coinquilino, che ovviamente non ricambiò il saluto, e uscì. Quando quella sera rientrò a notte tarda, trovò Shinichi Mochizuki, il suo compagno di stanza, a terra in preda a convulsioni e al delirio. Diceva frasi sconnesse, parlava dell’essenza ultima, del cuore più profondo della matematica, di un’ombra che doveva rimanere velata “per il bene di tutti noi”. A fatica Minh-Yong riuscì a mettere a letto il suo amico e a farlo calmare fino a che si addormentò. La mattina dopo Shinichi non si ricordava assolutamente niente di quello che era avvenuto la notte prima. Qualche anno dopo, esattamente il 31 agosto del 2012, Shinichi Mochizuki pubblicò sul suo sito quattro articoli per un totale di circa 500 pagine. Questi articoli contenevano, fra le altre cose, la dimostrazione di una delle congetture più importanti della Teoria dei Numeri. Per anni Mochizuki aveva lavorato in quasi totale isolamento sviluppando una teoria matematica completamente innovativa, che non assomigliava a niente di quello che si conosceva. Subito altri matematici, quelli più vicini a lui, visto che Mochizuki non aveva pubblicizzato il suo lavoro, iniziarono a studiare la sua dimostrazione. Dopo giorni e giorni di studi scrissero solo una frase: Impossibile capirla. L’anno successivo, nel dicembre 2013, si riunì ad Oxford una commissione di esperti mondiali per cercare di decifrare il lavoro di Mochizuki che nel frattempo si era chiuso ancora di più in sé stesso e si rifiutava di dare qualsiasi tipo di spiegazione sui suoi articoli. Nei primi giorni di lavoro della commissione sembrò che le cose iniziassero a quadrare ed i concetti andavano lentamente a prendere il posto che era loro consono e pareva che il lavoro del giapponese iniziasse ad acquisire senso e ad essere compreso. Poi, all’improvviso, crollò tutto. Da un certo punto in poi, nessuno riuscì più a seguire il filo del pensiero di Mochizuki. Le migliori menti matematiche del pianeta erano in scacco. Dissero che il nuovo ramo della matematica che il giapponese aveva creato per dimostrare l’ardua congettura della Teoria dei Numeri era così bizzarro, astratto e avanti rispetto ai nostri tempi che sembrava una matematica arrivata direttamente dal futuro. I più grandi matematici mondiali erano di colpo incapaci di parlare. Il cuore della dimostrazione si fonda su una serie di relazioni che stanno alla base e che sono lo scheletro essenziale, ultimo, di quell’entità che comunemente noi chiamiamo Numero. Queste relazioni, anche qui invisibili ad una occhiata superficiale, ci trasportano in un mondo astratto così lontano e di così pura bellezza “che si ha l’impressione di essere al cospetto del divino”. La teoria di Mochizuki ha un nome che incute terrore: Inter-Universal Teichmüller Theory (per gli amici IUT). Anche qui, come per Gödel, non possiamo scendere di più nei particolari di questa complessissima teoria, ma quello che conta nella dimostrazione di Mochizuki è il procedimento, e il fatto che l’essenza centrale dell’impianto dimostrativo fa riferimento (come in Gödel) alla natura più intima dell’entità Numero.

Ora immaginiamoci nello spazio, quello ordinario a cui siamo abituati tutti i giorni. In questo spazio che, localmente possiamo pensare matematicamente piatto ed euclideo senza perdere troppo in generalità, non esiste il concetto: “sono fermo”. Perché, anche se rimanessimo perfettamente immobili, ci muoveremmo comunque rispetto alla coordinata temporale. Un secondo alla volta, verso quello che, nella nostra limitata percezione lineare, chiamiamo futuro. Uno spazio di questo tipo, piatto ed euclideo, che approssima la struttura reale geometrica dell’Universo, è descritto dal “Lambdoma” numerico:

(avrete intuito che la dimensione del Lambdoma è 4×4 perché viviamo in uno spazio manifesto quadridimensionale). Nello spazio reale, quello non approssimato dalla geometria euclidea, quello della Relatività Generale per intenderci, le caselle del Lambdoma sono riempite da formule molto più complesse. In fisica, questo tipo di Lambdoma si chiama “metrica” dello spaziotempo e ne definisce la geometria. In matematica, la metrica è un complesso oggetto algebrico che si chiama “Tensore Metrico”, ma qui non ce ne occuperemo, diciamo solo che ogni spazio matematico e fisico è descritto geometricamente dal suo tensore metrico che serve, alla fine, a calcolare le distanze tra due punti in questo spazio. Nello spazio piatto ed euclideo, come quello descritto dal Lambdoma qui sopra, la distanza tra due punti è un segmento di retta e si calcola cartesianamente con il teorema di Pitagora.

Ora prendiamo una funzione matematica qualsiasi, non importa che forma abbia e quanto sia complessa e pensiamo che questa funzione, che generalmente chiameremo f, descriva una qualche entità immersa nello spazio ordinario che abbiamo immaginato prima. Balziamo adesso indietro di tre secoli. Siamo nel 1782 quando il matematico francese Pierre-Simone Laplace sta studiando come in determinate condizioni le funzioni come la f che abbiamo visto prima variano nello spazio ordinario manifesto e soprattutto era interessato a capire con che “velocità” f varia rispetto alle coordinate cartesiane. Questi studi del comportamento di f lo portarono a formulare una relazione matematica, un’equazione di questo tipo L²f = 0. Senza scendere in particolari, il simbolo L² racchiude una serie di operazioni matematiche che “misurano” con che velocità la funzione f modifica il suo modo di variare rispetto alle coordinate cartesiane dello spazio. Questo simbolo, in onore a Laplace, si chiama “Operatore Laplaciano[2]”. Quello che ci interessa qui è che, generalizzando ed astraendoci dall’ambiente fisico, tutte le funzioni matematiche f che si annullano una volta che ad esse è applicato l’operatore laplaciano L² sono chiamate “Funzioni Armoniche”. Queste funzioni hanno un andamento ripetitivo al variare delle coordinate; infatti, l’equazione di Laplace L²f = 0 è anche detta equazione d’onda. È importante qui chiarire che l’annullarsi dell’Operatore Laplaciano applicato ad f vuol dire che f è una soluzione delle operazioni contenute in L². Una delle soluzioni dell’espressione L²f = 0 è f = sin (seno) o anche f = cos (coseno). Le funzioni seno o coseno descrivono appunto un andamento sinusoidale delle grandezze su cui operano come si vede ad esempio nella figura qui sopra. Quindi l’annullarsi dell’Operatore Laplaciano Individua quelle funzioni f che hanno un andamento di natura ondulatoria, armonico, qualunque siano le grandezze sulle quali f agisce. Ecco. Siamo arrivati alla definizione matematica, astratta, di Armonica. L’Armonica qui è un’idea, un qualcosa di non tangibile fisicamente, un modello da cui le forme possono entrare in manifestazione come, ad esempio, le leggi dell’Armonica che definiscono il suono; ma per capire che relazione questa ha con l’essenza del Numero, bisogna avere ancora un po’ di pazienza e ancora un pizzico in più di attenzione visto che ora il livello di difficoltà si alza un pochino.

Quando si parla di “simmetria” più o meno tutti hanno un’idea di quello di cui si sta parlando. Ad esempio, un qualcosa di speculare è simmetrico. Vero, ma in matematica il concetto di simmetria è qualcosa di più esteso e astratto. Per vedere come funziona la simmetria in matematica prendiamo un tavolo quadrato visto dall’alto. Se lo ruotiamo, diciamo di 45 gradi, notiamo sicuramente che il tavolo non è più nella posizione di prima. Questo è naturalmente ovvio. Se però dalla posizione di partenza ruotiamo il tavolo in senso antiorario (o in senso orario, la cosa non cambia) di 90 gradi, questo sembra esattamente nella stessa posizione da cui siamo partiti, solo che lo spigolo in basso a destra ora è in alto a destra, ma il tavolo sembra esattamente come nella posizione iniziale. Quante di queste rotazioni possiamo fare che lasciano la posizione del tavolo invariata allo sguardo? Quattro. Sono solo quattro le rotazioni che possiamo fare: 90 gradi, 180 gradi, 270 gradi e 360 gradi (la rotazione di 360 gradi del tavolo, come è intuibile, è identica ad una rotazione di 0 gradi e si chiama “identità” in termini matematici). Il tavolo quadrato presenta una “simmetria rotazionale discreta” e diciamo in matematica che l’insieme delle simmetrie del tavolo contiene quattro elementi: le rotazioni specificate qui sopra. Ora se prendiamo una delle rotazioni presenti nell’insieme di quattro elementi del tavolo e la facciamo seguire da un’altra rotazione sempre presente in questo insieme otterremo sempre un elemento dell’insieme delle quattro simmetrie del tavolo: ad esempio, se eseguo una rotazione di 90 gradi e poi una di 180 gradi ottengo lo stesso risultato come se avessi fatto da subito una rotazione di 270 gradi. Altro esempio. Se ruoto il tavolo di 180 gradi e poi di 270 gradi otteniamo una rotazione di 450 gradi che corrisponde a ruotare il tavolo di 90 gradi (450 – 360). Eseguire una rotazione di seguito ad un’altra, in matematica si chiama “composizione” delle rotazioni. Oltre che ruotare il tavolo in senso antiorario possiamo decidere di comporre due rotazioni una in senso antiorario ed una in senso orario. Ad esempio, posso decidere di ruotare il tavolo in senso antiorario di 270 gradi e poi in senso orario di 90 gradi ottenendo una rotazione finale di 180 gradi. Se componendo due rotazioni una in senso antiorario ed una in senso orario, ottengo la simmetria “identità”, ovvero torno alla posizione di partenza, come se non avessi applicato nessuna rotazione, definisco allora quella che si chiama simmetria “inversa”. Ora diamo una definizione importante: Un insieme i cui elementi siano delle simmetrie e che abbia le tre “strutture algebriche” come quelle definite per il tavolo, cioè la struttura di esistenza della simmetria “identità”, la struttura della “composizione” delle simmetrie e la struttura della simmetria “inversa”, allora quello che ho per le mani è ciò che in matematica si chiama “Gruppo”. Un Gruppo non è detto che abbia un numero finito di elementi di simmetria, si pensi ad esempio al Gruppo delle rotazioni di un tavolo rotondo: in questo caso qualsiasi degli infiniti angoli tra 0 e 360 gradi è un elemento dell’insieme delle simmetrie del tavolo rotondo[3]. Adesso che sappiamo padroneggiare la definizione di Gruppo, consideriamo quello in cui gli elementi dell’insieme delle simmetrie siano tutti i punti di uno spazio continuo (liscio e senza buchi o discontinuità) con caratteristiche particolari e cioè uno spazio dove, ad esempio, sia possibile applicare l’operatore laplaciano L² visto in precedenza[4]. Un Gruppo che ha questi punti come elementi dell’insieme di simmetria si chiama Gruppo di Lie, dal matematico norvegese Sophus Lie che lo ha introdotto intorno al 1870. Oltre al Gruppo di Lie, ci interessa anche un altro gruppo: il Gruppo di Galois, dal matematico francese Évariste Galois che per primo ha studiato le simmetrie in campo numerico. Alla definizione di Gruppo di Galois arriviamoci per gradi. Prendiamo l’insieme dei numeri Naturali, per intenderci i numeri che usiamo tutti i giorni per contare. Come sappiamo dalla scuola elementare, su questo insieme possiamo eseguire le quattro operazioni: Addizione, Sottrazione, Moltiplicazione e Divisione. L’insieme dei numeri Naturali è “chiuso” rispetto a solo due di queste operazioni: l’Addizione e la Moltiplicazione. Infatti, sommando due o più numeri Naturali si ottiene sempre un numero Naturale, così come moltiplicando due o più numeri Naturali otteniamo sempre un numero Naturale. Cosa succede adesso se sottraiamo un numero Naturale più grande da uno più piccolo? Succede che usciamo dall’insieme dei Numeri Naturali perché otteniamo un numero negativo che non è un numero Naturale. Aggiungendo i numeri negativi come “estensione” all’insieme dei numeri Naturali, otteniamo l’insieme dei numeri Interi[5]. Quando ad un insieme numerico (come i numeri Naturali) aggiungiamo un’estensione (come i numeri negativi), otteniamo, quello che si chiama un “Campo Numerico”. Adesso, un Gruppo di Galois è un Gruppo i cui elementi dell’insieme delle simmetrie è formato dagli elementi che rappresentano l’estensione che forma un Campo Numerico. Per questo articolo i Gruppi di Lie assieme ai Gruppi di Galois ci interessano perché sono studiati da una branca della matematica che si chiama Teoria delle Rappresentazioni che studia particolari strutture algebriche, come appunto i Gruppi. In particolare, la Teoria delle Rappresentazioni studia come i Gruppi in generale (ed in particolare il Gruppo di Lie e Galois) possano essere “rappresentati” mediante trasformazioni lineari (cioè una trasformazione che prende un oggetto e lo trasforma in un altro oggetto, mantenendo intatta la struttura algebrica interna) su spazi vettoriali[6]. Le Rappresentazioni permettono di costruire oggetti astratti che ci aiutano a studiare come un Gruppo (o più in astratto, un’Algebra) agisce e trasforma uno spazio vettoriale. Qui non dobbiamo lasciarci sfuggire un cambiamento profondo di visione. Mentre i Gruppi rappresentano entità matematiche “statiche”, con i loro elementi e con le relazioni algebriche di identità, composizione e simmetria inversa, le Rappresentazioni si focalizzano su aspetti dinamici, di trasformazione esattamente come avveniva per l’operatore Laplaciano che “rappresentava” un moto di variazione di una funzione rispetto alla sua “estensione” cartesiana e che serviva a definire una Funzione Armonica.  Per le trasformazioni geometriche dei campi vettoriali la Teoria delle Rappresentazioni si avvale del Gruppo di Lie di simmetrie sullo spazio vettoriale attraverso il quale vengono caratterizzate anche le Funzioni Armoniche, mentre per le trasformazioni numeriche sui campi numerici, la Teoria delle Rappresentazioni si avvale del Gruppo di Galois agente sul Campo Numerico in esame. Ora, senza entrare in particolari troppo complicati, dallo studio delle Rappresentazioni del Gruppo di Lie e dallo studio delle Rappresentazioni del Gruppo di Galois emergono delle entità essenziali comuni che sono dette Forme Automorfe. Queste entità astratte incorporano alcune delle idee essenziali che stanno alla base sia della Geometria Algebrica (branca della matematica che definisce anche le funzioni armoniche), sia della Teoria dei Numeri.

Queste entità astratte sono fatte di pure relazioni. Qui quello che conta non è il tipo di oggetto a cui si applicano, ma le relazioni che vengono intessute fra questi oggetti. Non importa se stiamo parlando di Spazio, con il suo Lambdoma metrico, di Numero o di Armonica, ognuno di questi campi di applicazione ha una Rappresentazione Automorfa comune che risiede ad un livello di astrazione più alto dal quale discendono le manifestazioni specifiche. Queste entità così astratte vengono costruite e descritte nella Inter-Universal Teichmüller theory di Mochizuki di cui abbiamo parlato all’inizio e hanno un nome, si chiamano Frobenoidi. Ad oggi la IUT è ancora oggetto di studio da parte delle maggiori menti matematiche mondiali, alcune cose sono state capite, altre rimangono ancora un mistero. Si arriverà a scoprire cosa intendeva Mochizuki quando diceva che alcune cose dovrebbero rimanere velate per il bene di tutti noi? Fatto sta che ancora oggi, più di allora, Shinichi Mochizuki si rifiuta di fare qualsiasi commento su questo lavoro che lo ha portato quasi alla follia. Anche i suoi articoli sono stati rimossi dal suo sito personale con il divieto da parte di Mochizuki di pubblicazione in originale e in qualsiasi altra forma[7]. Fortunatamente gli originali esistono ancora nelle accademie e sono tuttora oggetto di profondo studio e di ricerca di frontiera da parte della comunità matematica. Un’altra branca della matematica, la Logica Categoriale, mostrerebbe che queste Rappresentazioni Automorfe possono essere applicate anche alla dimostrazione di Gödel sull’incompletezza sintattica, cosa che aiuterebbe il lavoro di astrazione sulla dicotomia tra semantica e sintassi, Verità e Dimostrazione, già formalizzata da Gödel con il suo lavoro del 1930, unificando così sotto una teoria comune, Geometria algebrica, Teoria dei Numeri e Logica Matematica.

Come è facile intuire, quella che viene insegnata nelle scuole non ha niente a che fare con la matematica reale, quella a cui gli studiosi dedicano la propria esistenza in studi e ricerca. È come se nelle scuole d’arte, chiamassero Arte solo la tecnica di imbiancare una parete, senza fare cenni a Leonardo o a Michelangelo e ad altri grandi artisti che hanno dato dignità alla loro disciplina. Così è per la matematica. I numeri non sono solo strumenti quantitativi che servono per contare come ci viene insegnato a scuola. Su questa falsa idea molti, credendo che la matematica sia tutta lì (nella sua sterilità didattica), e senza prendersi la briga di andare oltre, nella loro limitatezza criticano le accademie senza sapere l’enorme lavoro di studio e di ricerca che la matematica moderna richiede.Rispetto agli studi esoterici sull’Armonica, quanto qui presentato la affronta da una prospettiva sapienziale diversa, lo stato dell’arte della moderna ricerca scientifica-matematica che con strumenti e tempi diversi arriverà a dire le stesse cose che gli antichi già sapevano. L’astrazione matematica ci porta in mondi di così essenziale bellezza che è come essere fuggiti dalla caverna di Platone ed essere arrivati faccia a faccia con la pura Verità. Il senso della matematica è lo stesso dell’arte: la creazione di intrinseca bellezza. È la bellezza, non l’utilità, la vera giustificazione della matematica. Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono esprimere bellezza. Non abbiamo bisogno quindi di creare nuove aritmetiche o geometrie dai nomi roboanti o teorie strampalate sui numeri. Tutto quello che ci serve è già qui. E molte altre cose ci aspettano, ancora velate. Tutto un mare da navigare e scoprire.

Una grande avventura.

[1] Per intenderci sui termini che in tale disciplina devono necessariamente essere precisi, qui, e negli articoli del genere, per “scienza” s’intende solo l’accezione riconosciuta dal dizionario Treccani che riporta che: “La scienza è l’insieme delle discipline fondate essenzialmente sull’osservazione, l’esperienza, il calcolo, o che hanno per oggetto la natura e gli esseri viventi, e che si avvalgono di linguaggi formalizzati”.

[2] Qui il link per ulteriori informazioni su questo operatore: https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_Laplace

[3] Infatti, questo Gruppo si chiama Gruppo della Circonferenza

[4] Non è per niente scontato che tutti gli spazi abbiano questa caratteristica. Tecnicamente lo spazio deve essere continuo e infinitamente differenziabile in ogni punto. Uno spazio di questo tipo si chiama Varietà Differenziale. Ad esempio, una retta con delle discontinuità o con dei punti di cuspide (una cuspide è un punto dove una curva cambia bruscamente di direzione, come ad esempio la vetta acuminata di una montagna rispetto alla dolcezza della rotondità di una collina) non è differenziabile nelle discontinuità e nelle cuspidi e quindi non è una Varietà Differenziale.

[5] Per l’operazione di divisione avviene la stessa cosa ottenendo un’estensione dei numeri Naturali che chiamiamo Numeri Razionali.

[6] Ricordiamo qui la differenza tra spazio scalare e spazio vettoriale. Uno spazio scalare è ad esempio quello delle temperature: ad ogni punto dello spazio è associato un numero che rappresenta una temperatura. Uno spazio vettoriale, ad esempio, è quello dei venti: ad ogni punto dello spazio, oltre ad un numero associato all’intensità del vento è associata anche una direzione.

[7] In questo sito è comunque possibile reperire i quattro articoli della IUT nella versione rivista del 2020:

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html